黄石2023-11-08 17:00:12

同学你好。这道题考的比较深哈，建议记住结论即可。我们学习的瞬时利率过程都是假设的风险中性，即在风险中性世界下去刻画利率的演变。因此，drift描述的其实是风险中性世界中的E[dr]，而这与风险厌恶世界下的E[dr]是不同的。以债券为例，假设其当前价格 = P，在风险中性世界下债券的预期变动E[dP] = r*P，即当前债券价格乘以无风险收益率；而风险厌恶世界下其预期变动E[dP] = E[R_Bond]*S，其中E[R_Bond]为债券预期收益率。E[R_Bond] - r被定义为风险溢价risk premium，即投资者承担额外风险所需获得的补偿。那么根据这个思路，风险中性下的E[dr]也应等于风险厌恶下的E[dr]减去一个风险溢价。但是，需要注意的是，实际上风险中性下的E[dr] = 风险厌恶下的E[dr] + 风险溢价。这个我们可以简易来理解：债券价格与利率是呈反向关系的，因此，如果在计算债券价格的预期变动时我们是减去了风险溢价，那么在计算利率的预期变动时我们应加上风险溢价。所以，我们可以将风险中性世界下的Vasicek model改写成下图中的形式，其中lambda（风险溢价）可以为常数，也可以随t的变动而变动。

对于W和dW，不是dW里有(dt)^0.5，而是dW is scaled with (dt)^0.5。这主要是来自于布朗运动的性质，即其二次变差（quadratic variation；可以简单理解成每期W的变化的平方加总）并非无限，而等于期限长度。比如从W_0到W_T，对应的二次变差等于T。简单来想，这意味着W每一次的变化的平方都对应着时间的变化（所以变化的平方之和等于期间长度），即(dW)^2 = dt。故dW = (dt)^0.5。在随机微分方程中（例如Vasicek model），dW是一个随机变量，给整个序列带来一定的随机性；drift则确立了序列长期以往的趋势。