黄石2023-10-30 09:37:36

同学你好。VaR是最早被提出的指标，本质上就是一个损失分布的分位数。在1999年，Artzner等学者提出了Coherent risk measure的概念，从数学上推导出了风险度量应满足的四大公理：次可加性，位移不变性，单调性，正齐次性。简单来说，这四种性质都是在描述风险度量应具备的“well-behavedness”，其中以次可加性最为重要。Artzner等学者提出VaR并不满足次可加性，所以不是一致性风险度量。因此，他们提出了一个改进，叫做Conditional VaR，定义为（设损失变量为X）：E[X|X > VaR]，也就是expected shortfall。Expected shortfall是满足次可加性以及其它性质的，是一致性风险度量。

谱风险度量（Spectral risk measure）则更为广义化，在精算中对应畸变风险度量（Distortion risk measure），简单来说可被定义为损失分布中各个分位点的加权平均。其中，对于如何进行加权，一般提出三大要求：1). 权重本身非负，2). 权重的积分等于1（即normalization；积分等于1是因为谱风险度量是在连续情况下的度量方法，可类比于离散情况下权重加总等于1），以及最重要的3). 权重应随着损失的增大而增大（或者至少不应下降），这直接反映投资者的风险厌恶。可证满足这三点的谱风险度量是一致性风险度量。其中，VaR和ES都可被看做是谱风险度量的特例，分别将其对损失分位数赋予的权重代入前面的三条假设，可以直接看出VaR是不一致的风险度量，而ES是一致的风险度量。