赵同学2023-10-05 13:17:55
赵同学请问老师，利率期限结构都有哪些分类？10个利率期限结构模型都分别描述了哪一种？都是短期利率期限结构么？是平行移动还是非平行移动，是flat么？加入drift项之后会有什么影响
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黄石2023-10-07 15:58:05
黄石同学你好。利率期限结构就是将不同期限的spot rate（或者forward rate，par rate，都可以，我们主要考虑spot rate即可）画在图像上，其横轴为期限，纵轴为利率水平。利率期限结构无非就是向上倾斜、水平、向下倾斜三种主要形态。
同学想问的是短期利率模型隐含的利率期限结构是吗？首先这里的思路是，我们可以通过短期利率模型构建利率二叉树，进而反推出不同期限的零息债券的价格、得到不同期限的即期利率。这样就得到了利率的期限结构。在细分之前，还要说明的一点是无套利模型是匹配当前市场上观测到的利率期限结构的；存在均值复归的模型都是非平行移动，反之则平行移动（这里的平行/非平行移动指的是短期利率上升一定的量，整个利率期限结构是上升相同的量（平行移动），还是短期/长期利率上升的量不同（非平行移动））。
Model 1：反推出来的利率期限结构是向下倾斜的；平行移动。
Model 2：反推出来的利率期限结构更为灵活，在原版书中根据其参数得到的是向上倾斜的（参数不同，利率期限结构的形状也会不同，也有可能是向下倾斜，这个不用太纠结）；平行移动。
Ho-Lee Model：匹配当前利率期限结构；平行移动。
Vasicek Model：反推出来的利率期限结构更为灵活，在原版书中根据其参数得到的是向上倾斜的；非平行移动。
Model 3：匹配当前利率期限结构；平行移动。
Cox-Ingersoll-Ross Model：反推出来的利率期限结构更为灵活，原版书中未给出具体参数与图像；非平行移动。
Courtadon Model：反推出来的利率期限结构更为灵活，原版书中未给出具体参数与图像；非平行移动。
Salomon Brothers Model：匹配当前利率期限结构；平行移动。
Black-Karasinski Model：匹配当前利率期限结构；非平行移动。
可以看一下下图中不同参数对应的CIR模型与Vasicek模型的利率期限结构形态（这边a = mean reversion rate，b = long-term rate）。
风险中性过程中的漂移项是short-rate expectation与risk premium的结合。若投资者期望short rate未来上涨/下跌则利率期限结构向上/向下倾斜；risk premium会把利率期限结构向上拉
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还想请教老师，这里的凸性是什么意思：Model 1 is relatively flat for early terms and then downward sloping. As the model has no drift, rates decline with term solely because of convexity.
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同学你好。这里联系的是上一章学习的影响利率期限结构形状的三大因素：未来瞬时利率的期望，凸性效应以及风险溢价。其中，凸性效应的存在使得利率期限结构会向下坠（即这里对Model 1 term structure的描述）。在瞬时利率建模时，漂移项包含了期望与风险溢价，波动项包含了波动率，而波动率与凸性挂钩。Model 1中只有波动项，所以对于其隐含的利率期限结构，唯一的影响因素就是凸性。
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谢谢老师，我还想问一下均值复归的模型，趋势项也是变动的，为什么是均衡模型呢，谢谢？
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老师好，您提到的这个内容：影响利率期限结构形状的三大因素：未来瞬时利率的期望，凸性效应以及风险溢价。这个内容方便发一下，我学习一下
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同学你好。对于无套利模型，其趋势项每期都会发生变动，这种变动的实质是在于去匹配当前的利率期限结构。也就是说，我们给定了当前不同期限的零息债券的价格与spot rate，我们需要去调整模型中的趋势项，使得模型定出来的债券价格等于当前市场上的债券价格、得到的spot rates等于当前市场上的spot rates。对于均值复归模型，其趋势项描述的是底层的经济假设，即利率呈现均值复归。其中theta（长期均值）以及k（均值复归参数）都是恒定不变的。这里唯一会变的r取决于不同时间节点根据模型得到的r。因此，尽管均值复归模型的趋势项不同时点取值不同，但这种变化相当于是模型内部设定导致的自然的变化（因为r每期不一样），并不能让我们借以匹配当前市场上零息债券的价格与利率期限结构，而这又恰恰是无套利模型的核心所在。想要使均值复归模型变成无套利模型，theta和k至少要有一个是时变的（即theta_t和k_t），比如最后学的Black-Karasinski Model。
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同学你好。对于影响利率期限结构形状的三大因素：未来瞬时利率的期望，凸性效应以及风险溢价，建议同学可以看一下原版书上第12章。由于这里最多只能上传三张图片，所以无法上传全部内容，这边稍微给同学讲一下，具体内容还是建议看原版书哈：
在探讨对于未来利率期望的时候，为了完全孤立出期望对于期限结构的影响，我们假设投资者的期望是不带有任何不确定性的（比如我若期望未来利率 = 10%，那么我就是认为未来利率只会取10%，取到的概率是100%，而不是像二叉树中这样，未来利率有不同取值的可能性，经概率加权后等于期望）。此时，若市场上所有投资者都对未来利率有一致的、不带有任何不确定性的期望，那么当前债券价格必然应通过这个期望利率折现，否则不会有投资者去投资的（例：当前一年期利率 = 10%，若市场上所有投资者都坚信一年后的一年期利率 = 12%，那么当前一个两年期的债券的yield（即两年期spot rate）取值必然大于10%，否则没有人会去投资。这也就是为什么若投资者期望利率上涨/下跌，就会造成利率的期限结构呈现上斜/下斜）。
讨论完利率的期望后，我们转而开始考虑允许利率期望带有不确定性，也就是说比如虽然我期望一年后的一年期利率 = 10%，但我认为利率有50%可能性取到8%，50%可能性取到12%。此时，如果不考虑不确定性，只根据期望来看，那么利率期限结构应该是平的。但此时由于利率的不确定性，我们需要使用利率二叉树对债券进行定价，按不同利率求债券价格、再求债券价格的期望。由于债券的定价公式具有凸性的性质，根据Jensen's inequality可知，此时求出的债券价格会大于直接按照期望利率求解的债券价格（也就是讨论利率期望对期限结构的影响时举的例子）。由于在数学上，该情况直接由债券定价公式的凸性性质导致的，所以我们称其为凸性效应。本质上，凸性效应来自于利率的不确定性。若凸性为正，则债券存在涨多跌少的优势，这部分优势是有价值的（但这部分优势只有当利率像二叉树中一样存在不确定性/变动才能体现），而这价值就表现在了实际求解的债券价格相较于不考虑利率不确定性的债券价格更高（我们需要花更多的钱来买入该资产）。而价格更高对应着spot rate更低，所以convexity effect会将利率期限结构向下拽。
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