黄石2023-10-07 14:54:01

同学你好。

首先需要回顾的是伯努利变量。伯努利变量是一种只能取 0 或 1 的随机变量，意味着只有两种可能且结果相互对立（比如抛一次硬币，硬币正面朝上为1，硬币背面朝上为0。在VaR的回测中则是对于某一天的观测值，损失超过VaR值为1，不超过VaR值为0）。

接下来需要理解的是伯努利分布，即只有两个可能的取值结果 (0 或 1) 的随机变量 X（伯努利随机变量）所服从的分布。伯努利分布只有一个参数，即 X 取到 1 的概率，记作 p。在上述抛硬币试验中，若假设该试验是公平的，那么 p = 0.5，即正面与背面朝上的概率相等。伯努利随机变量的期望值 E(X) = p*1 + (1 - p)*0 = p，即可能取到的值乘上对应的概率然后加总。其方差为 Var(X) = E{[X - E(X)]^2}= E(X^2) - [E(X)]^2，带入可得 Var(X) = [p*(1^2) + (1 - p)*0^2] - p^2 = p(1 - p)。

二项随机变量的定义是基于伯努利随机变量的。如果将伯努利变量取到 0 或 1 看作一次试验的话，那么二项随机变量就是进行 n 次独立的伯努利试验后、伯努利变量取到 1 的次数。例如抛 n 次硬币 (假设是公平的)，硬币正面朝上的“次数“就是二项随机变量，0/1/2/…/n 次正面朝上发生的概率各不相同。二项分布即二项随机变量服从的分布。在我们这里的例子中，一次伯努利试验就是某一天损失是否超过VaR，而我们有n天的数据样本。超过VaR一次、超过VaR两次、...，即这里的二项变量。

对于二项分布的均值和方差，可以简单理解：既然二项分布是做了n次伯努利试验，而一次伯努利试验 E(X) = p，Var(X) = p(1 - p)，那么就在各自的前面乘上n即可。严谨的推导不需要掌握。这里还需要知道的一点是二项分布在满足一定的条件下会趋于正态分布，所以检验统计量是假设使用正态分布的。