欢同学回答（1）
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黄石2023-09-26 17:02:27
黄石同学你好。因为曲线上那一点对应的是横轴r = 8%时纵轴债券价格的取值。这里写成1/(1 + E[r])会更好理解，因为这里8%就是利率的期望，(6% + 10%)/2。债券定价公式的凸性性质使得1/(1 + E[r]) < E[1/(1 + r)]，也就是低于r = 6%和10%时债券价格的平均数（体现在图上就是两个价格点画直线、直线的中点对应的价格）。
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接这个杰森不等式右边我老是想不明白，昨天我可以堪称是面值1块的债券在两种收益率情况下的均值，那右边这个对应的怎么理解比较好呢？谢谢老师
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同学你好。左边是按不同利率求债券价格、再求债券价格的期望；右边则是先求出利率的期望，再使用利率的期望值去求债券的价格。
这边稍微展开给同学讲一下，理一下逻辑。这部分原版书实际上是在探讨三类影响利率期限结构的因素：对未来利率的期望、凸性效应、以及风险溢价。
在探讨对于未来利率期望的时候，为了完全孤立出期望对于期限结构的影响，我们假设投资者的期望是不带有任何不确定性的（比如我若期望未来利率 = 10%，那么我就是认为未来利率只会取10%，取到的概率是100%，而不是像二叉树中这样，未来利率有不同取值的可能性，经概率加权后等于期望）。此时，若市场上所有投资者都对未来利率有一致的、不带有任何不确定性的期望，那么当前债券价格必然应通过这个期望利率折现，否则不会有投资者去投资的（例：当前一年期利率 = 10%，若市场上所有投资者都坚信一年后的一年期利率 = 12%，那么当前一个两年期的债券的yield（即两年期spot rate）取值必然大于10%，否则没有人会去投资。这也就是为什么若投资者期望利率上涨/下跌，就会造成利率的期限结构呈现上斜/下斜）。
讨论完利率的期望后，我们转而开始考虑允许利率期望带有不确定性，也就是说比如虽然我期望一年后的一年期利率 = 10%，但我认为利率有50%可能性取到8%，50%可能性取到12%。此时，如果不考虑不确定性，只根据期望来看，那么利率期限结构应该是平的。但此时由于利率的不确定性，我们需要使用利率二叉树对债券进行定价，按不同利率求债券价格、再求债券价格的期望。由于债券的定价公式具有凸性的性质，根据Jensen's inequality可知，此时求出的债券价格会大于直接按照期望利率求解的债券价格（也就是讨论利率期望对期限结构的影响时举的例子）。由于在数学上，该情况直接由债券定价公式的凸性性质导致的，所以我们称其为凸性效应。本质上，凸性效应来自于利率的不确定性。若凸性为正，则债券存在涨多跌少的优势，这部分优势是有价值的（但这部分优势只有当利率像二叉树中一样存在不确定性/变动才能体现），而这价值就表现在了实际求解的债券价格相较于不考虑利率不确定性的债券价格更高（我们需要花更多的钱来买入该资产）。而价格更高对应着spot rate更低，所以convexity effect会将利率期限结构向下拽。
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