黄石2023-09-25 11:19:17

同学你好。

广义极值理论（GEV）：对样本中最大值进行建模（样本中最大值是随机变量，可通过不同样本的最大值不同的思路来理解），认为在满足一定假设条件的情况下，样本最大值依分布收敛于广义极值分布。此即Fisher-Tippett theorem。广义极值分布在tail index取值大于/等于/小于0的情况下分别等价于Frechet distribution/Gumbell distribution/Weibull distribution。

Peak-Over-Threshold方法（POT）：设定一个阈值u，POT对随机变量X的样本值超过阈值的部分进行建模，即对X - u进行建模。POT认为在满足一定假设条件的情况下，X - u依分布收敛于广义帕累托分布。此即Gnedenko-Pickands-Balkema-deHann theorem。给定一个loss distribution，GEV与POT均对该分布中的极值所服从的分布进行建模，类似于一个母分布（loss distribution）vs子分布（极值的分布）的关系。通过对子分布的建模，我们可以对母分布的尾部进行修正、进而计算出诸如VaR、ES等指标（这种思想可以扩展至任何risk measures）。

多元极值理论：不是重要考点。前述GEV与POT均是对一个变量X的极值进行建模。现实中的投资组合往往包含多个资产，因此需要引入多元极值理论。这里需要注意的唯一考点是，对于多个变量的建模需考虑变量之间的相关性。在超出正态分布（更广义地，椭圆分布）的范畴时，Correlation已不再适用于相关性的建模，此处应引入后续会学习的Copula。至于如何引入、如何建模就是完全超纲的内容了。