Cindy2020-09-21 14:40:34

同学你好，单因素模型（Single Factor Model）的分析原理与莫顿模型类似，其中莫顿模型通过企业价值与债务的关系分析违约概率，单因素模型是通过企业资产的收益率和债务的关系分析违约概率。
单因素模型中，资产的收益率用α来衡量，则α=(V1-V0)/V0 。当V1<K时，即公司价值小于债务面值时，α=(V1-V0)/V0 <(K-V0)/V0 =-E/V0 ，因此可以通过收益率与债务因子的关系进行建模。
单因素模型对市场收益进行建模时，选取两个影响因子，分别为市场因子m和特殊风险因子ε。其中市场因子是指实际市场经济条件与违约情况的相关性，特殊风险因子是与特殊风险有关的。
α=βm+√(1-β^2 ) ε
其中m和ε都服从标准正态分布且m和ε之间无相关性。
将以上这两个标准正态分布加总可以得到α为正态分布。则
E(α)=βE(m)+√(1-β^2 ) E(ε)
因为m和ε都服从标准正态分布，标准正态分布的期望为0，所以E(m)和E(ε)为0，E(α)也为0。
σ^2 (α)=β^2 σ^2 (m)+(1-β^2 ) σ^2 (ε)+2β√(1-β^2 )*cov（m，ε）
因为m和ε都服从标准正态分布，所以σ^2 (m)和σ^2 (ε)为1，cov（m，ε）为0。σ^2 (α)为1。
假设当α<-2.33时发生违约，由于α服从标准正态分布，所以P(α<-2.33)=1%，即违约概率为1%。
当m未知时，此时通过单因素模型求解的是非条件违约概率（Unconditional PD）。
当对市场情况有比较合理的预期时，通常会将市场因子m设定为某常数，即m ̅来表示资产收益和市场之间的敏感程度。此时
α=βm ̅+√(1-β^2 ) ε
其中E(α)=βm ̅，σ^2 (α)=1-β^2，即α服从均值为βm ̅，方差为1-β^2的正态分布。
此时计算违约概率时，假设债务因子为k，将k进行线性变换转化为标准正态分布后，可以求解违约概率。
p=Φ((Ki-βi m ̅)/√(1-βi^2 )) i=1,2⋯
这种给定市场因子情况计算的违约概率为条件违约概率（Conditional PD）。