黄石2023-09-28 09:20:45

同学你好。这里同学记住结论即可。无股息情况下BSM call的定价公式S*N(d1) - K*e^-rT*N(d2)，前半段S*N(d1) = price of asset-or-nothing call，后半段e^-rT*N(d2) = price of cash-or-nothing call (payoff = $1)，K*e^-rT*N(d2)可以理解为payoff = K的cash-or-nothing call。从考试的角度出发，同学掌握到这里即可。

这里背后是有推导的，这边定性跟同学解释一下。Cash-or-nothing call比较好理解，因为N(d2)本身就是风险中性下未来S > K的概率，该概率经无风险利率折现得到的就是cash-or-nothing call, payoff = $1（因为当S > K时该期权获得$1；这里隐含着期权定价中很重要的一个思想，即风险中性概率的折现等于期权价格，一般使用Kolmogorov backward equation建模风险中性概率，Black-Scholes partial differential equation建模期权价格）。

Asset-or-nothing call更难理解一些，因为其payoff，S，乘以的是N(d1)而非N(d2)。简单来说，N(d1)是对风险中性下未来S > K的概率N(d2)的一个修正，其考虑到S越大越容易超过K的联动性（即当获得payoff的可能性变高时，payoff本身也变高；这在asset-or-nothing call中是必然的，但这里的思想可以拓展至更广义的期权产品，比如当资产S价格大于K时获得另一类资产Q的payoff，此时就要考虑S与Q的相关性）。这也是N(d1)在作为期权Delta之外另一种经典的解释。