Yvonne2021-07-27 15:33:29

同学你好，Φ等于1的时候，是不平稳的，证明过程如下：
以AR(1) 方程举例。利用迭代，如Yt-1=Φ1Yt-2 + εt-1代入Yt = Φ1Yt-1 + εt以此类推，如可得
Yt = Φ1Yt-1 + εt
=Φ1(Φ1Yt-2 + εt-1) + εt
=Φ1^2Yt-2 + Φ1εt-1+ εt
=Φ1^2 (Φ1Yt-3 + εt-2) + Φ1εt-1+ εt
=Φ1^3 Yt-3 + Φ1^2εt-2 + Φ1εt-1+ εt
由上列方程可以判断回归系数Φ对AR(1)方程的影响：
1.    当Φ = 1 时， 方程 Yt = Yt-3 + εt-2 + εt-1+ εt
可见随着时间的推移， 随机扰动εt对Yt的影响持续存在，扰动不会收敛，因此方程的方差也随之不断变化。不符合序列宽平稳方差为常数的条件。序列的当前值无法通过历史值判断。
2.    当Φ > 1 时, 方程 Yt = Φ1^3 Yt-3 + Φ1^2εt-2 + Φ1εt-1+ εt
可见因为Φ > 1， 所以Φ 的n次方值会越来越大，意味着以前时刻的序列值Yt-n及扰动εt-n-1 会随着时间间隔n的扩大而越来越大，序列前值的影响不收敛。 序列的均值和方差均不是常数，因此序列不稳定，序列的当前值无法通过历史值判断。
3.    当Φ < 1 时, 方程 Yt = Φ1^3 Yt-3 + Φ1^2εt-2 + Φ1εt-1+ εt
可见因为Φ < 1， 所以Φ 的n次方值会越来越小，意味着以前时刻的序列值Yt-n及扰动εt-n-1 会随着时间间隔n的扩大而越来越小，序列前值的影响逐渐收敛于0。 序列的均值和方差是常数，因此序列稳定，序列的当前值可以通过历史值判断。