追问

老师，我指的是这里，证明样本均值是无偏的时候，证明了样本均值的期望等于总体均值，而且并不需要无限次抽样这个条件，而老师说无限次抽样的情况下才能得到样本均值的期望等于总体均值。

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追答

不是哦，这里说的是无偏性的含义，不是证明。它的意思是，如果一个参数是无偏的，那么它的估计值就应该等于总体真实值，比如，假设样本均值等于总体均值的真实值，那么我们就说这个样本均值是总体均值的无偏估计，或者说这个样本均值具有无偏性。这里是这个意思。

追问

不是的老师，这里是证明，如果公式只是想说明无偏性的含义，那么就不需要中间那个求和的式子了，直接写E(u^cap)=u就可以了，图中这个式子是证明，而且证明过程用到了i.i.d.的性质。

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追问

讲义上就是说，样本均值是无偏的，因为样本均值的期望等于总体均值，而不是假设样本均值是无偏的。

追问

而且老师您的追答里说“如果一个参数是无偏的，那么它的估计值就应该等于总体真实值，比如，假设样本均值等于总体均值的真实值。。。”这个说法不对吧，参数都是总体的参数-population parameter，没办法说一个参数是无偏的，无偏性是估计量的性质。而且“那么它的估计值就应该等于总体真实值”这个说法也不对，应该是估计值的期望等于总体真实值。

追答

用参数这个词确实不对，我的原意是想说明用样本数据的估计量来估计总体的真实参数。更正一下，也就是如果对某个统计量，比如均值或者样本的标准差，样本的均值估计量或者标准差估计量等于总体真实的均值或者标准差，那么就说这个估计量是具有无偏性的。 关于你说的这个式子，它确实是在假设Xi的均值是μ的前提下进行的，你可以往前面翻两页，”Assumed the random variables Xi are i.i.d. and E[Xi ]=𝜇 and V[Xi ]=𝜎^2. “ 所以把E(Xi)加总相当于nμ，所以最后的化简结果才是μ。 那么如果没有这个假设呢？如果我们用样本估计总体参数，比如均值，应该怎么做呢？要进行抽样，比如X1，X2， X3， X4，...， 都是总体X的样本，而x1，x2， x3，...，就是相应的样本值，而E（x1），E（x2）,...,就是这些样本的均值，再把这个均值加总求平均得到E[μ cap], 那么怎么样才能使得E[μ cap]等于总体真实的均值呢？只抽样一次两次够吗？在没有假设样本均值等于μ的提前下，或者换句话说某个样本可能不具有代表性，那么一两次显然是不够的，尤其是总体数据比较庞大的话，一两个样本肯定是不具有代表性的，所以抽样次数n越多，才能越好地覆盖到总体的每个样本，得到的E[μ cap]才会越接近总体的真实值。这里其实也正是说明了为什么抽样次数n要趋于无穷大。

追问

老师，怎么会没有这个假设：“Assumed the random variables Xi are i.i.d. and E[Xi ]=𝜇 and V[Xi ]=𝜎^2”呢？ 这不就是抽样的前提么？ 这句话就是在说被抽样的总体的均值是𝜇，每次抽样是独立的啊。没有这个前提难道每次抽样不独立？ 被抽样的总体均值不是𝜇？

追问

这个式子就是通过图中iid的性质推导出来的，之前高老师也讲过的。而且样本均值的无偏性不需要无限次抽样这个前提，因为无偏性的定义是： 一个统计量的期望等于总体的参数值。期望本身意思就已经包含了是对所有可能的情况进行平均，不需要再加无限次抽样这个前提。老师你追答里说的是，对多个样本的样本均值算算术平均数，这个算术平均数等于总体均值，那是需要有无限个样本。但是期望不代表算术平均数。

追问

刚忘记附图了

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追问

老师我又想到了无偏性不需要无限次抽样这个前提的辅证，就是讲义里说如果估计量是BLUE的，那么可以通过无限次抽样，对无限个样本的均值算算术平均数，那么这个算术平均数就是估计量的期望，就等于总体参数。所以无偏性本身是不需要无限次抽样这个前提的，而且你如果想接近总体参数，就要通过无限次抽样然后算平均数的方式来得到期望值，而无偏估计量的期望值就等于总体参数，所以算出期望值就得到总体参数了。老师您再想想是这样不？

追问

所以是因为要算期望值才无限次抽样，而不是因为无偏性有无限次抽样这个前提。

追问

而且老师您上面的追答里说“而E（x1），E（x2）,...,就是这些样本的均值，再把这个均值加总求平均得到E[μ cap]”，那如果E（x1）是样本的均值，V（x1）、V（x2）就是这些样本的方差？ 那我第一次追答里附的图中下面V[μ cap]那个式子，把V（x1），V（x2）加合除以n^2是在干嘛呢？

追答

同学你好，不是所有的样本均值都等于总体参数，只有样本具有代表性才可以，这也是为什么前面一页讲义里说了E[Xi]=μ。如果样本足够有代表性，那么不无限抽样也是可以的，本身无限抽样只是为了使得样本能够充分代表总体。 方差的推导见附图。

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