追问

那从这个意义上来说，chi-square分布也可以算一个多元随机变量么？ 由n个独立同分布的变量Zi^2组成的多元随机变量？

追答

不是哦，它还是单一变量的概率分布，卡方分布的定义是：若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成【一新的随机变量】，其分布规律称为卡方分布。所以卡方分布是关于这个新的随机变量的概率分布，也就是分布的横坐标只是这个新的随机变量。否则就没有办法在二维图像上展示了呀，举个例子，比如是关于两个随机变量的概率分布，那么它的分布就应该是三维的，也就是横坐标应该要有两个，比如这个样子。那么它的pdf函数就应该是三维立体的，而不是只存在二维表面。

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追问

明白了，是因为chi-square 分布把自变量变成了个数n，所以它不是多元，如果同样的表达式，自变量是Z1-Zn，那么就是n元随机变量了，对么？

追答

不是变成个数n哦，是把几个变量组成一个新变量，举个例子，假设有变量a，b，c， d，然后用这四个变量组成新的变量x，比如x=a+b+c+d，然后建立一个关于x的概率分布，这个分布是一个单变量的分布，因为它只是研究x这个变量在不同取值是对应的概率密度，至于x是怎么组成的，他并不关心。 类似的，如果你定义X=z1-z2，那么关于x的概率分布同样是一个单变量的分布。 我前面举的二维的多元分布是什么意思呢，假设现在有两个变量X1和X2， 这里的联合概率分布表示的是，当我X1取某个值，X2取某个值的时候，这二者同时满足时对应的概率分布。所以横坐标会有两个坐标轴。

追问

老师我觉得X=Z1-Z2也是二元随机变量。比如我这次追问里附的图，g(X,Y)是一个二元随机变量吧？ 这里的g(X,Y)=X^Y，那g(X,Y)的形式可以有很多种，也可以是g(X,Y)=X-Y啊，所以g(Z1,Z2)=Z1-Z2我觉得也是一个二元随机变量。

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追答

前面讨论的多元还是单元都是针对概率分布图的。附图中这个概率矩阵是二元随机变量的概率矩阵，这个是因为图中给的概率是同时考虑x和y的，比如15%表示的是x等于1，以及y=3时的联合概率，也就是x和y的联合概率分布用三个坐标才能确定。而你说的g（x，y）是x和y经过变换之后的一个新的变量，如果把它和对应概率都反映在坐标系里面，那么只需要二维坐标即可。横坐标是g（x，y）的取值： 1^3, 1^4, 2^3， 2^4， 纵坐标是每个取值对应的概率，0.15, 0.60, 0.1, 0.15，也就是g（x，y）的概率分布用两个坐标就可以确认了，这并不能算作是二元随机变量. 或者说x和y是二元随机变量，但是g（x，y）你可以理解成一个新的变量g，这个只能算单元。

追问

好的老师，我明白了。 那f(X,Y)是一个二元随机变量的概率分布，这个是对的哈？

追答

嗯嗯，这个是没问题的，更准确一点，f（x，y）是一个二元随机变量的概率函数，毕竟f表示函数，分布是函数在坐标上的图像表现形式。

追问

好的老师