Jenny2021-04-27 15:44:49

同学你好，没有截距项的时候，理论上可以引入m个哑变量。解释这个问题，要回到虚拟变量陷阱这个问题上。

这部分的解释会有些超纲，会涉及到矩阵和线性代数方面的内容，所以这部分不会详细展开。大概了解一下就可以了。
主要是记结论，即如果有截距项的情况下，只能引入m-1个虚拟变量，否则会导致虚拟变量陷阱。
假设y是因变量，自变量有C1、C2、C3。在有截距项b时，回归模型为：
y=a1×C1+a2×C2+a3×C3+b
按上图中的虚拟变量设置，用OLS（ordinary least squares）求解方程的时候，模型解为
[a1,a2,a3,b]’=invert((X’X))X’Y，
当有截距项b的并用时候，用上述公式求解模型就会遇到“虚拟变量陷阱”，也就是矩阵X’X是不可逆的（因为矩阵并不是满秩的）。简单来说就是完全多重共线性（即其中一个自变量可以完全由另外两个自变量决定）导致OLS算法中矩阵不可逆。从而无法计算回归模型的系数（“虚拟变量陷阱”是和回归模型的求解算法有关的，上述的OLS的闭式解会报错）。如果去掉截距项，这个矩阵是满秩的，也就是各列向量并不是线性相关。故此时，没有共线性的问题，那么就可以计算出回归模型的系数。

简单点来说，就是如果有截距项又有m个哑变量，就无法计算出回归模型的系数，如果不含截距项的话，即使包含m个变量，也不会导致无法计算出系数，所以理论上可以有m个，但是一般不会这么做，考试基本上也不会考的。简单了解即可。