Jenny2020-10-09 15:08:20

同学你好，具体证明见下图，还是比较复杂，建议简单理解，直接记结论。
n表示n次试验，p表示单次试验的成功概率。
E(n)表示n次试验的成功次数的数学期望。

这里还需要依赖一个求数学期望的公式， 所有概率相加=1。
所有概率相加=1，即
∑k=0,n     C(n,k) *  p^k * (1-p)^(n-k) = 1

对于试验n次的情况，有n+1种结果，0次成功系数为0，所以k=1开始即可。
∑k=0,n   k * P(k)
=
∑k=1,n   k * P(k)

E(n)=np这个公式是如何推导来的呢？
首选要知道所有的可能性，例如n次试验，可能成功0次，1次，2次，。。。n次。即有n+1种可能。
假设做6次试验，0表示成功，1表是失败。
可能性如下：
000000
100000
010000
001000
000100
000010
000001
......
成功0次的可能性有1种，成功1次的可能性有6种，这是n选k的问题。
n次试验，成功k次的可能性有多少种=C(n,k)=n! / (k!(n-k)!)
n次试验，成功k次的概率= C(n,k) *  p^k * (1-p)^(n-k)
所有概率相加=1，即
∑k=0,n     C(n,k) *  p^k * (1-p)^(n-k) = 1

数学期望E(n)，表示做n次试验，最可能成功多少次：
将成功次数乘以对应的概率，求相加即可得到它的数学期望。
∑k=1,n   k * C(n,k)  *  p^k * (1-p)^(n-k)
=
∑k=1,n   k * ( n! / (k!(n-k)!))   *  p^k * (1-p)^(n-k)
=
∑k=1,n   k * ( n! / (k(k-1)!(n-k)!))   *  p^k * (1-p)^(n-k)
=
∑k=1,n   ( n! / ((k-1)!(n-k)!))   *  p^k * (1-p)^(n-k)
=
∑k=1,n   ( n(n-1)! / ((k-1)!(n-k)!))   * p *  p^(k-1) * (1-p)^(n-k)
=
np∑k=1,n   ( (n-1)! / ((k-1)!(n-k)!))   *  p^(k-1) * (1-p)^(n-k)