左同学2019-01-02 23:08:26
左同学AR这章有没有总结？感觉建模过程和之前的多元回归MR有些地方会混淆。有没有对比的总结，题目应用也比较少，或者有木有其他老师的视频？
回答（1）
Chris Lan2019-01-03 09:53:02
Chris Lan同学你好，帮你进行了总结。
Autoregressive Models (AR Model)：自回归模型
AR(p) model，其中P代表离现在最远的滞后项，例如：yt=b0+b1xt-1+b2xt-3+ε，表示为AR(3) model，即最后一期为t-3，因此为AR(3)
利用序列相关性，使用昨天的因变量，解释今天的因变量，即yt=b0+b1xt-1+b2xt-2+bpxt-p+ε（递推式）
Forecasting With an Autoregressive Model：使用自回归模型计算未来的值，例如：自回归方程为：xt cap=b0 cap+b1 cap×xt-1，其中已知b0，b1，xt-1，求xt+2，计算时需要将数据代入两次
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使用自回归模型要满足三个条件：
No autocorrelation：无序列自相关性，特指除了模型中的滞后项（模型中的参数要有相关性），没有其它的序列自相关（例如：yt=b0+b1yt-1+ε，只有昨天的我可以解释今天的我，其它的都不可以）
Covariance-stationary series：协方差平稳，特指均值一致，且方差一致，且协方差一致
No Conditional Heteroskedasticity：无条件异方差
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相关的检验：
1）No autocorrelation：使用t-test来检验是否存在序列的自相关性，H0：r=0，Ha：r≠0，其中rεt，εt-k表示εt和εt-k的相关系数
如果H0被拒绝，则说明εt和εt-k两者的相关系数显著的不等于0，修正方法为，将xt-k这一项加入自回归模型
使用残差的相关性来做检验，其逻辑是：残差有自相关关系，那么时间序列数据之间也是有自相关关系的。比如有以下的自回归模型，xt=b0+b1xt-1+εt-1，xt=b0+b1xt-2+εt-2,......
以此类推会有k个这样的公式（取决于有多少个LAG项），我们用残差的自相关关系，比如说εt-1和εt-2的自相关关系，去解释xt-1和xt-2的自相关关系。你可以理解为“使用残差的自相关关系，可以去解释时间序列数据的自相关关系”。但只有假设检验的环境下，这种用残差自相关解释时间序列数据自相关的方法才是可用的
2）Covariance-stationary series：即这组数据没有发生性质上的变化，例如中国1995年开始有股票市场，2006年出台股权分置改革，因此之后的数据和之前的数据产生了性质上的变化，这种就属于协方差不平稳
备注：第3季度与第4季度为环比，去年第4季度与今年第4季度为同比
协方差平稳（Covariance-stationary）的条件：均值、方差、协方差都必须是一个常数
备注：过去的协方差平稳，并不代表未来的协方差平稳，我们在做自回归时只要保证过去的协方差平稳即可
所有的协方差平稳的时间序列都有一个特性，叫做均值复归（mean-reverting），表示数据本身具有一定的修复功能
结论：对于AR(1) model而言，其均值为xt=b0/(1-b1)；如果xt>b0/(1-b1)就会有一股力量把xt向下推，但不会低于b0/(1-b1)，如果xt<b0/(1-b1)就会有一股力量把xt向上推，但不会高于b0/(1-b1)
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随机游走（random walks）
Random walk without a drift（不带漂移量的随机游走）：均值复归的反面，其意义yt=b0+b1yt-1+ε，如果使得b0=0，b1=1，则公式变为yt=yt-1+ε，说明前一个y和当前y之间差了一个残差，而残差可大可小可正可负，这种情况就称为不带漂移量的随机游走（无截距）
Random walk with a drift（带漂移量的随机游走）：即当b0≠0时的随机游走（多了一个截距）
在随机游走当中，最好的估量下一个量的值，就是上一个量的值（想要估计明天，最好的值就是今天）
只要其斜率为1（b1=1）则就是一个随机游走，这种现象称为单位根现象（unit root），另外要注意：b1=1等价于unit root等价于non-stationary
注意：A random walk has an undefined mean reverting level：如果存在随机游走，则不存在mean reverting level，而协方差平稳也是不存在的
Dickey-Fuller test（迪基-福勒检验），DF test用于检测是否存在单位根现象，逻辑：xt=b0+b1xt-1+ε，两边同时减去xt-1，则公式变形为：xt-xt-1=b0+(b1-1)xt-1+ε，其原假设为：H0：g=0，Ha：g<0，（g=b1-1）使用T分布查表，因为其公式左边变形为xt-xt-1，因此需要使用revised t-table进行查表。另外要注意其备择假设为g<0而非g≠0，原因是当g>0时，b1>1，意味着这是一个扩散序列，一般认为扩散序列很难是stationary（平稳）的，而当g<0时，b1<1，意味着这是一个收敛序列，严格意义说，如果一个序列是收敛序列，且其b1≠1，才说明这个序列是平稳的
如果DF检验失败，等同于不能拒绝原假设H0：g=0，等同于存在随机游走，等同于存在单位根现象，等同于mean reverting level不存在，等同于协方差不平稳，使用first-difference（一阶差分）修正随机游走的问题
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Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH)：自回归条件异方差
如果残差项存在条件异方差，意味着残差项是与t是有关的（残差项是随着时间变化而变化），因此可以对残差项的平方与t做一个自回归模型，这个模型就称为ARCH(1)
H0：a1=0，Ha：a1≠0，如果a1=0，表示没有条件异方差（另外可以使用GLS（Generalized least squares）：广义最小二乘法）
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Compare forecasting power with RMSE（root mean square error）可以使用RMSE检验AR模型的力度
In-sample forecasts：例如：用2007-2014年的数据做模型，去估计2009年的数据（没有意义）
Out-of-sample forecasts：例如：用2007-2014年的数据做模型，去估计2015年的数据
使用RMSE指标去衡量自回归模型的预测力度，RMSE：√(∑εi2/n)=√[(yt-yt cap)2/n]，相当于yt-yt cap表示不能被解释的部分的方差，RMSE越小越好
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Regression with More Than One Time Series（讨论自变量和因变量都是时间序列数据时能否建模）
xt和yt都平稳-----可以
xt不平稳，yt平稳-----不可以
xt平稳，yt不平稳-----不可以
xt和yt都不平稳（性质上不同），但步调一致，这种情况称为：cointegrated（协整）-----可以
xt和yt都不平稳，但步调不一致-----不可以
DF-EG test：用于检验是否出现协整，H0：no cointegration，Ha：cointegration，拒绝原假设，可建模
结论：如果DF-EG test检验可以拒绝原假设，即存在协整现象，则一定可以建模，无论xt与yt是否平稳
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