袁同学2019-05-25 13:36:58
袁同学老师，想请问在时间序列分析中，怎么理解协方差平稳？序列相关检验，随机游走与协方差平稳，条件异方差，协整这几个之间的关系？还有就是题目给出残差的自相关系数表该怎么理解和利用这3列数据？
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Chris Lan2019-05-27 10:21:59
Chris Lan同学你好，
协方差平稳，有三个条件，要同时满足，这三个条件分别是：均值平衡，方差平稳，协方差平稳。
我们在CFA二级主要研究均值平稳，检验方法是看回归方程是否有均值回归线，如果没有均值回归线，就表示均值不平稳，均值不平稳，就表示存在随机游走。
协方差平稳（Covariance-stationary）的条件：均值、方差、协方差都必须是一个常数
备注：过去的协方差平稳，并不代表未来的协方差平稳，我们在做自回归时只要保证过去的协方差平稳即可
所有的协方差平稳的时间序列都有一个特性，叫做均值复归（mean-reverting），表示数据本身具有一定的修复功能
结论：对于AR(1) model而言，其均值为xt=b0/(1-b1)；如果xt>b0/(1-b1)就会有一股力量把xt向下推，但不会低于b0/(1-b1)，如果xt<b0/(1-b1)就会有一股力量把xt向上推，但不会高于b0/(1-b1)
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随机游走（random walks）
Random walk without a drift（不带漂移量的随机游走）：均值复归的反面，其意义yt=b0+b1yt-1+ε，如果使得b0=0，b1=1，则公式变为yt=yt-1+ε，说明前一个y和当前y之间差了一个残差，而残差可大可小可正可负，这种情况就称为不带漂移量的随机游走（无截距）
Random walk with a drift（带漂移量的随机游走）：即当b0≠0时的随机游走（多了一个截距）
在随机游走当中，最好的估量下一个量的值，就是上一个量的值（想要估计明天，最好的值就是今天）
只要其斜率为1（b1=1）则就是一个随机游走，这种现象称为单位根现象（unit root），另外要注意：b1=1等价于unit root等价于non-stationary
注意：A random walk has an undefined mean reverting level：如果存在随机游走，则不存在mean reverting level，而协方差平稳也是不存在的
Dickey-Fuller test（迪基-福勒检验），DF test用于检测是否存在单位根现象，逻辑：xt=b0+b1xt-1+ε，两边同时减去xt-1，则公式变形为：xt-xt-1=b0+(b1-1)xt-1+ε，其原假设为：H0：g=0，Ha：g<0，（g=b1-1）使用T分布查表，因为其公式左边变形为xt-xt-1，因此需要使用revised t-table进行查表。另外要注意其备择假设为g<0而非g≠0，原因是当g>0时，b1>1，意味着这是一个扩散序列，一般认为扩散序列很难是stationary（平稳）的，而当g<0时，b1<1，意味着这是一个收敛序列，严格意义说，如果一个序列是收敛序列，且其b1≠1，才说明这个序列是平稳的
如果DF检验失败，等同于不能拒绝原假设H0：g=0，等同于存在随机游走，等同于存在单位根现象，等同于mean reverting level不存在，等同于协方差不平稳，使用first-difference（一阶差分）修正随机游走的问题
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条件异方差是使用ARCH模型进行检验
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity (ARCH)：自回归条件异方差
如果残差项存在条件异方差，意味着残差项是与t是有关的（残差项是随着时间变化而变化），因此可以对残差项的平方与t做一个自回归模型，这个模型就称为ARCH(1)
H0：a1=0，Ha：a1≠0，如果a1=0，表示没有条件异方差
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残差的自相关检验是为了验证LAG项中还有没有能够解释今天的我的滞后项了，如果有就要再加回方程中
1）No autocorrelation：使用t-test来检验是否存在序列的自相关性，H0：r=0，Ha：r≠0，其中rεt，εt-k表示εt和εt-k的相关系数
如果H0被拒绝，则说明εt和εt-k两者的相关系数显著的不等于0，修正方法为，将xt-k这一项加入自回归模型
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协整是讨论两组数据都是时间序列数据是，能不能建模的问题。
xt和yt都平稳，可以建模
xt不平稳，yt平稳，不可以建模
xt平稳，yt不平稳，不可以建模
xt和yt都不平稳（性质上不同），但步调一致，这种情况称为：cointegrated（协整），可以建模
xt和yt都不平稳，但步调不一致，不可以建模
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谢谢老师，第一次这么清楚的知道这几个概念之间的关系，老师还想问下，图片中的那三列数据应该怎么使用来做什么判断的？
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图中的三列数据分别怎么使用，是用来做什么判断的？
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