黄石2024-05-14 15:46:35

同学你好。这个知识点很偏，基本不会考到。Variance在多元变量中可被广义化成covariance，同理，skewness也可以被广义化成coskewness。对于随机变量X与Y，有两个coskewness。为了方便起见我这里就写对应的三阶中心矩了：E[(X - E[X])(Y - E[Y])^2]与E[(X - E[X])^2(Y - E[Y])]。E[(X - E[X])(Y - E[Y])^2]取值为正的时候，意味着当X偏高时Y的波动会比较大、更有可能取到一些极端值，取值为负则当X偏高时Y的波动会比较小、不太可能取到一些极端值。E[(X - E[X])^2(Y - E[Y])]也是同样的解读方法。因此，D正确，当一个变量的变动方向（高于期望vs.低于期望）和另一个变量的大小（波动较大vs.波动较小）之间没什么敏感性的时候，coskewness = 0。

C说的不对，这里极端值可以是正的极端值，也可以是负的极端值，因为取的是平方所以正负号不重要。正负号在cokurtosis里比较重要，比如E[(X - E[X])(Y - E[Y])^3]，这里Y的极端值的正负号就会有所影响了。

对于A，coskewness和skewness一样，都是unit free且scale free的，因为我们在第三阶中心矩的基础上还做出了除以标准差的调整。比方说E[(X - E[X])(Y - E[Y])^2]除以的就是X的标准差和Y的标准差的平方（也就是Y的方差）。

对于B，根据上述公式可见coskewness的计算并不会用到某个变量的标准差的三次方。