黄石2024-04-08 17:40:38

同学你好。这道题考察的是无套利定价法。

根据当前的二叉树，我们可以得出该欧式看涨期权在三个月后不同情况下的payoff：若股价 = $13，则期权payoff = $3；若股价 = $7，则期权payoff = $0。无套利定价的核心思路是，通过做空一份期权 + 做多delta份股票构建出无风险组合。在这样一个简易模型下，无风险只需要使得未来两种情况下组合的payoff是相等的。其中，当股价 = $13时，做空一份看涨期权的payoff = -$3（多头是$3，空头就是-$3，二者是零和游戏），而做多delta份股票的payoff = $13*Delta。同理，当股价 = $7时，做空一份看涨期权的payoff = $0，做多delta份股票的payoff = $7*Delta。我们只需要求出能够使得$13*Delta - $3 = $7*Delta的Delta取值即刻。这里Delta算出来等于0.5。也就是说，做空一份期权 + 做多0.5份股票就可以构建出无风险组合，该组合在未来任何情况下的payoff都等于$3.5。这样一个组合今天的价值必然等于该payoff按无风险利率折现，折现回来后我们即刻通过当前构建组合的成本反推出期权的价格。