追问

谢谢老师，我看了一下原版书2019年P216页，这个里面是说E(U^2n-1)=E(σ^2n-1)，连续复利的收益期望，为什么等于市场变量的方差？蒙了……您写的那个均值为零的公式，也没看懂，麻烦老师啦。

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追问

是不是我原始问题的图中的讲义中的假设，是错的，笔误了，写成了α^2n+t-1，还落下了E？如果不是，就是我理解的有问题。这个部分感觉老师讲的特别快，特意回来听的。感谢老师。

追答

不是的，原版书和讲义上都是一样的，都是做了一个假设，就是E(X)=0，在这个假设情况下，那么方差Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2这个公式就变成了Var(X)=E(X^2)，就是书中写的方差等于均值的平方。按照这里逻辑顺下来的。

追答

你基于这个假设再推一下。

追问

可是如果不是μ平方的期望等于σ平方的期望的话，好像没有办法合并同类项啊。那句假设The expected value of E（μ²n+t-1）is that of σ²n+t-1，难道其中的that不是指期望吗？如果that指期望的话，就是 E（μ²n+t-1）=E(σ²n+t-1)，好像这样才可以合并同类项，把α+β放一起吧？就是这个图中等式，两边同时去期望E，然后 E（μ²n+t-1）=E(σ²n+t-1)才可以和后面的合并同类项啊？

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追答

他是分为两步走的，他不是假设期望等于期望。你想一步一步来看，先把第一个式子中的期望的平方写成波动率的平方，这样alpha和beta就是可以直接相加的，然后他利用这样的性质，Y=X+Z推出E(Y)=E(X)+E(Z)得到第二个式子，他的意思是，等号左右两边都是变量，并且相等，那么他们的期望也应该是相等的。

追答

他是分为两步走的，他不是假设期望等于期望。你想一步一步来看，先把第一个式子中的期望的平方写成波动率的平方，这样alpha和beta就是可以直接相加的，然后他利用这样的性质，Y=X+Z推出E(Y)=E(X)+E(Z)得到第二个式子，他的意思是，等号左右两边都是变量，并且相等，那么他们的期望也应该是相等的。

追问

麻烦老师了，可能我是太笨了吧，还是不能理解您说的意思。 首先，按照您的意思这里有一个假设，E(X)=0，则Var(X)=E(X^2)。按照这个假设，是不是应该有E（μ²n+t-1）=σ²n+t-1？这样的话，第一个等式两边取期望的时候，αE（μ²n+t-1）=ασ²n+t-1，那和后面的βE(σ²n+t-1)怎么合并同类项啊？您是说这里的σ²n+t-1是常数吗？然后ασ²n+t-1=αE(σ²n+t-1)？貌似这样才能合并同类项啊。如果是这样，那σ²n+t-1必须是常数？ 如果是这样，我没啥可说的。 其次，我就想问，您对The expected value of μ²n+t-1 is that of σ²n+t-1，这句英文怎么理解？我以为这句话的字面意思就是E（μ²n+t-1）=E(σ²n+t-1)，然后后面第一个等式两边取期望，合并同类项就可以了。您看我这样理解可以吗？

追问

麻烦老师了，可能我是太笨了吧，还是不能理解您说的意思。 首先，按照您的意思这里有一个假设，E(X)=0，则Var(X)=E(X^2)。按照这个假设，是不是应该有E（μ²n+t-1）=σ²n+t-1？这样的话，第一个等式两边取期望的时候，αE（μ²n+t-1）=ασ²n+t-1，那和后面的βE(σ²n+t-1)怎么合并同类项啊？您是说这里的σ²n+t-1是常数吗？然后ασ²n+t-1=αE(σ²n+t-1)？貌似这样才能合并同类项啊。如果是这样，那σ²n+t-1必须是常数？ 如果是这样，我没啥可说的。 其次，我就想问，您对The expected value of μ²n+t-1 is that of σ²n+t-1，这句英文怎么理解？我以为这句话的字面意思就是E（μ²n+t-1）=E(σ²n+t-1)，然后后面第一个等式两边取期望，合并同类项就可以了。您看我这样理解可以吗？老师您快解救我一下吧。。。

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追问

麻烦老师了，可能我是太笨了吧，还是不能理解您说的意思。 首先，按照您的意思这里有一个假设，E(X)=0，则Var(X)=E(X^2)。按照这个假设，是不是应该有E（μ²n+t-1）=σ²n+t-1？这样的话，第一个等式两边取期望的时候，αE（μ²n+t-1）=ασ²n+t-1，那和后面的βE(σ²n+t-1)怎么合并同类项啊？您是说这里的σ²n+t-1是常数吗？然后ασ²n+t-1=αE(σ²n+t-1)？貌似这样才能合并同类项啊。如果是这样，那σ²n+t-1必须是常数？ 如果是这样，我没啥可说的。 其次，我就想问，您对The expected value of μ²n+t-1 is that of σ²n+t-1，这句英文怎么理解？我以为这句话的字面意思就是E（μ²n+t-1）=E(σ²n+t-1)，然后后面第一个等式两边取期望，合并同类项就可以了。您看我这样理解可以吗？老师您快解救我一下吧。。。这次图片是正的

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追答

哈哈哈哈哈，别急哈，你的理解是对的

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追问

按照您的翻译，原版书中的式子是对的，推倒过程我也明白。但是回到您和周老师给出来的解答，也就是针对为什么这个等式成立，也即收益的期望和方差的期望相等的问题，这里的说σn+ t-1 得是常数？您是说我所有的理解对，还是我对期望相等那句话的意思理解的对？σn+ t-1 是常数，对吗？太麻烦老师啦，学的不好慌的很~。。。

追问

如果是这样，咱们的课件里，应该加上：E(μ²n+ t-1)=E(σ²n+ t-1)=σ²n+ t-1，

追答

首先，你学的还是挺细的，我根据和你的这么多次的对话，最后重新推导了一下这个公式。蓝色的部分就是你疑惑的部分。

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追问

老师您一定原谅我。。。截图上有问题，图一和图二。

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追答

我先回答你第二个部分的问题，E(sigma^2)他是一个均值，他是一个具体的数。所以E[E(sigma^2)]=E(sigma^2),相等是因为均值实常数，所以再取均值依旧是常数，不是因为波动率本身是常数。 如果不取两次期望，是得不到原版书上假设的那个式子的。 最后的部分是笔误，应该是t趋向于无穷大。