黄石2026-05-08 10:15:31

同学你好。若令f(S) = lnSt，那么df(S)/dS = 1/St，d^2f(S)/dS^2 = -1/St^2，df(S)/dt = 0。代入伊藤引理，有df(S) = 1/St*dSt - 1/2St^2*(dSt)^2。(dSt)^2 = (μ*St*dt + σ*St*dWt)^2 = (μ*St*dt)^2 + (σ*St*dWt)^2 + 2μ*σ*St^2*dt*dWt。根据伊藤乘法法则，dt^2 = 0，dt*dWt = 0，dWt^2 = dt。这个是伊藤微积分里的基础概念，当作结论直接用就可以（对于dt^2 = 0，因为dt是一瞬间的时间变动，是一个极小的量，故其2次方及更高阶的次方项都等于0；对于dWt^2 = dt，这个的证明思路是，运用布朗运动的原理证明dWt的期望 = dt，方差等于0，故可视为常数dt）。根据这一结论，有(dSt)^2 = σ^2*St^2*dt。回到df(S)的表达式，有df(S) = 1/St*dSt - 1/2St^2*(dSt)^2 = 1/St*(μ*St*dt + σ*St*dWt) - 1/2St^2*σ^2*St^2*dt = (μ - 0.5σ^2)dt + σ*dWt。等式左右两边求积分，等式左边变为lnSt - lnS0，右边变为(μ - 0.5σ^2)t + σ*Wt，即可论证连续复利回报率的分布。