黄石2025-11-03 10:00:17

同学你好。

R^2 = ESS/TSS = 1 - RSS/TSS。当往模型中额外增添一个新变量时，就算该变量只有一点解释力度，模型的ESS也会有所上升、RSS也会有所下降（只不过上升/下降的幅度很小），故R^2会上升。Adjusted R^2 = 1 - (RSS/n - k - 1)/(TSS/n - 1)，其中k是解释变量的个数。随着新变量的引入，RSS会有所下降（这会使得Adjusted R^2上升），但k会有所上升（这会使得Adjusted R^2下降）。如果新变量解释力度很低，那么k上升的幅度与平时无异，但RSS下降的幅度很小，使得Adjusted R^2整体来看会下降。

如果新增添的变量是无关变量的话，那么情况又会有所不同。理论上，无关变量对于Y的解释力度为0，所以在模型中引入无关变量不会抬升ESS，故R^2不会发生变化。Adjusted R^2中由于k上升，其取值会下降。不过现实世界中很难找到完全无关的变量，所以增添新的变量基本都会使得R^2上升，而Adjusted R^2的变动则取决于新增添的变量的解释力度有多少。

对于C，首先R^2不可能为负，因为ESS + RSS = TSS的存在，R^2的取值必然在(0, 1)之间。Adjusted R^2的公式中额外引入了RSS和TSS的自由度，故其取值范围不再受到这一限制、可以为负。