黄石2025-10-30 10:04:20

同学你好。这个是用滞后多项式（lag polynomial）的方法去表达的ARMA模型，这种表达是为了推导上的便利性。考试的话不会要求你具体写出来滞后多项式，了解如何使用ARMA模型建模季节性即可——在ARMA模型中，常见的建模季节性的方式是既包含短期滞后项（如Yt-1），也包含季节性滞后项（如Yt-4、Yt-12）。

简单举一个例子。考虑一个AR(1)模型，Yt = a + bYt-1 + e。移项可得Yt - bYt-1 = a + e -> (1 - bL)Yt = a + e，其中L是滞后算子，LYt = Yt-1；1 - bL就是short-run lag polynomial。对季节性进行建模，只需在原模型的基础上乘以seasonal lag polynomial。假设是月度的数据，那么我们可以在原模型的基础上乘以(1 - cL^12)，进而有(1 - bL)(1 - cL^12)Yt = a + e -> (1 - cL^12 - bL +bcL^13)Yt = a + e -> Yt = a + bYt-1 + cYt-12 - bcYt-13 + e，这本质上是一个参数上受到约束的AR(13)模型。以上模型常被表达为AR(1)*seasonal lag polynomial。拓展到ARMA模型，我们也可以在MA部分的基础上引入seasonal lag polynomial，进而就有了这边解析中的表达形式。假设常数项为0，那么ARMA模型基于滞后多项式的表达通常被写作（以ARMA(1, 1)为例）：(1 - bL)Yt = (1 + cL)et。还是假设月度数据，等式两边分别乘上对应的seasonal lag polynomial即可。