Dean2019-09-29 16:20:11

同学你好，该公式可以从理论上进行证明。这其实是有关风险中性理论的，现说明如下：
    股票与衍生品
在用估值模型研究或有赔付（期权）的金融产品时，关键要用随机过程精确描述出基本资产（股票）的价格变动。换句话说，研究期权价值其实等价于研究股票价格的变动，而股票价格是独立于投资者偏好的，风险偏好者和风险厌恶者对一个相同金融产品的定价应该是不同的，但在现实中所有的交易只基于一个价格，这个价格反映的是市场上均衡的、无套利的价格。
下面来描述股票价格的随机变动，它是服从对数正态分布的。股票价格在将来的概率分布不依赖于股票价格过去遵循的特殊路径（马尔可夫性质），在这个式子中u表示股票价格的收益率（趋势项），σ表示股票价格的波动。
(1)        dS_t=uS_t dt+σS_t dZ_t
假设衍生产品的变动遵循伊藤引理，其中∂f/∂t表示衍生价值与时间的关系，∂f/∂s表示衍生品与标的资产的关系，dt表示在很短的时间里，dZ_t为随机项
(2)        df（t,s）=(∂f/∂t+uS_t  ∂f/∂s+1/2 σ^2 〖S_t〗^2  (∂^2 f)/(∂s^2 ))dt+σS_t  ∂f/∂s dZ_t   

从公式中可以看出这两个产品受到一个相同的不确定性因素的影响，即随机项dZ_t，先将(1)式乘以∂f/∂s，将2式减去1式即消掉了这个不确定项，得到的公式是
df（t,s）- dS_t=(∂f/∂t+1/2 σ^2 〖S_t〗^2  (∂^2 f)/(∂s^2 ))dt
将∂f/∂s定义为delta，表示股票价格变动对期权价值变动的影响。
上面的这个过程可以看作是，通过买入了一个看涨期权，卖出delta份股票而构建了一个投资组合。在这个组合中，不确定性已经被消除了（dZ_t），其中值得注意的是u也被消除掉，因为没有人能够预知到股票的收益率。在不确定性消除后，整个组合是无风险的，在一个很短的时间间隔（dt）里通常不会有很大的偏移，所以组合的收益率水平就应该是无风险利率。