Essie2026-07-23 11:58:31

同学你好，
这里的 1/n 不是“推导成” p1, p2, ..., pn，而是把它解释成每个观测值出现的概率。因为前面写的是总体里有 n 个数：X1, X2, ..., Xn，如果我们从这 n 个数里随机抽一个，并且每个数被抽到的机会一样，那么每个数的概率都是 1/n。所以可以写成：

p1 = p2 = ... = pn = 1/n

因此原来的平均数形式：

(1/n)Y1 + (1/n)Y2 + ... + (1/n)Yn

就可以写成概率加权平均的形式：

p1Y1 + p2Y2 + ... + pnYn

这里的 Y1, Y2, ..., Yn 指的是每个平方偏差，也就是：

Y1 = (X1 - μ)^2

Y2 = (X2 - μ)^2

一直到：

Yn = (Xn - μ)^2

所以，1/n 变成 p1, p2, ..., pn 的关键是：当每个 Xi 等概率出现时，每个概率 pi 都等于 1/n。如果不是等概率，那就不能都写成 1/n，而要写成各自对应的概率 p1, p2, ..., pn。

倒数第二行绿色的式子：

Var(X) = p1Y1 + p2Y2 + ... + pnYn = E(Y)

意思是：方差其实就是这些平方偏差 Y 的期望。因为期望的定义就是“每个可能取值乘以它的概率再相加”，所以 p1Y1 + p2Y2 + ... + pnYn 就是 Y 的期望，即 E(Y)。

然后最后一步是把 Y 换回它原来的含义。前面定义了：

Y = (X - μ)^2

而 μ 就是随机变量 X 的期望，也就是：

μ = E(X)

所以：

Y = (X - E(X))^2

因此：

Var(X) = E(Y) = E[(X - E(X))^2]

也就是说，最后一个式子只是把 Y 这个中间变量展开了。方差的本质含义就是：随机变量 X 距离它自己的均值 E(X) 的平方偏差的期望。