Essie2026-06-09 09:27:34

同学你好，
在一元线性回归中，模型为：
yi = b0 + b1 xi + εi
如果要检验斜率是否显著，原假设和备择假设为：
H0: b1 = 0
H1: b1 ≠ 0
斜率估计量为 b1，其标准误为：
se(b1) = sqrt(MSE / Sxx)
其中：
MSE = SSE / (n - 2)
Sxx = Σ(xi - x̄)^2

因此，检验斜率的 t 统计量为：
t = b1 / se(b1)
代入标准误公式：
t = b1 / sqrt(MSE / Sxx)

两边平方，得到：
t^2 = b1^2 / (MSE / Sxx)
    = b1^2 Sxx / MSE

另一方面，一元线性回归中的整体 F 检验也是检验：
H0: b1 = 0
因为模型中只有一个解释变量，所以“整体回归是否显著”与“斜率是否显著”是同一个问题。
F 统计量定义为：
F = MSR / MSE
其中：
MSR = SSR / 回归自由度
在一元线性回归中，回归自由度为1，所以：
MSR = SSR / 1 = SSR

而一元回归中：
ŷi = b0 + b1*xi

所以：
ŷi - ȳ = b1(xi - x̄)

因此回归平方和 SSR 为：
SSR = Σ(ŷi - ȳ)^2
    = Σ[b1(xi - x̄)]^2
    = b1^2 Σ(xi - x̄)^2
    = b1^2 Sxx

代入 F 统计量：
F = MSR / MSE
  = SSR / MSE
  = b1^2 Sxx / MSE

而前面已经推出：
t^2 = b1^2 Sxx / MSE

所以：
F = t^2
因此，在一元线性回归中，对斜率 b1 = 0 的 t检验，与整体回归显著性的 F 检验是等价的。二者的检验假设相同，且统计量满足：
F(1, n - 2) = t^2(n - 2)